题目链接:http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=289
因为这题太经典,所以把书上原话粘上来
题目
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量,且价值总和最大。
基本思路
这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。
用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 。 可以压缩空间,f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}
这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下:“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”,价值为f[i-1][v];如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”,此时能获得的最大价值就是f
[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
注意f[v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集,其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后,最终的答案并不一定是f[N] [V],而是f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉,在转移方程中就要再加入一项f[v-1],这样就可以保证f[N] [V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以,由你自己来体会了。
优化空间复杂度
以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V),其中时间复杂度基本已经不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到O(N)。
先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环i=1..N,每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么,如果只用一个数组f [0..V],能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢?
f[i][v]是由f[i-1][v]和f [i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来,能否保证在推f[v]时(也即在第i次主循环中推f[v]时)能够得到f[v]和f[v -c[i]]的值呢?事实上,这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v],这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下:
for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]},因为现在的
f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话,那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知,与本题意不符,但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案,故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。
看过上面的思路,题目就简单了
代码如下:
分享到:
相关推荐
利用回溯算法解决0/1背包问题。类knapsack为背包类,bound是上界函数,函数bknapsack实现0/1背包回溯算法。内有详细注释。
算法设计实验报告,包括:蛮力、动态规划、回溯、分支限界四种算法求解0/1背包问题的基本思想、时间复杂度分析,C++实现代码,运行结果截图,实验心得。
0/1背包问题优先队列式分支界限算法c++实现
0/1背包问题相关算法,有几个不同的算法,都是解决0/1背包问题的相关算法
设计0/1背包问题的动态规划算法,要求输出背包内物品的最大价值以及选入背包的物品种类。利用c语言(c++语言)实现算法,给出程序的正确运行结果。
0/1背包问题是学习动态规划算法最经典的例子 Java代码实现0/1背包问题 代码里有详细的注释,比较好理解
C++语言描述,VC++6。0下运行,用动态规划法求解0/1背包问题,代码里现有很详细的注释,是学习算法的很好参考。
算法课程设计 背包问题 0/1背包问题 实现算法课程设计 背包问题 0/1背包问题 实现 算法课程设计 背包问题 0/1背包问题 实现算法课程设计 背包问题 0/1背包问题 实现 算法课程设计 背包问题 0/1背包问题 实现 算法...
采用优先队列式分枝限界法求解0/1背包问题,算法设计第五章,描述的很清晰,里面有完整代码,由于害怕你弄混,所以完整运行的代码参考我的博客文章即可
背包问题(Knapsack Problem)是一个经典的组合优化问题,通常分为两种类型:0/1背包问题和分数背包问题。 1. **0/1背包问题**: - 给定一组物品,每个物品都有自己的重量和价值,要求在给定的背包容量下,选择...
C# 0/1背包问题 过程演示 源码。比较简单,但是网上在此之前好像没出现过。
这是算法设计与分析的一个基本的算法---蛮力法,通过全部遍历解决背包问题。
遗传算法遗传算法0/1 背包问题
使用C++实现的回溯法实现0/1背包问题,结果没有问题,比一些网上找到的简单易懂
浅析0/1背包问题的PDF格式论文。
利用动态规划算法解决0/1背包问题 自己设定背包容量、物品数量、以及各物品的重量和价值,测试结果是否为最优方案。
使用动态规划方法实现0/1背包问题求解;一共两种解法:存储记忆+递归; 自下而上的递归(迭代法);我CSDN博客有详细介绍。
通过蛮力法的遍历思想求解0/1背包问题